几何是初中数学最主要的内容,在中考大题中占着较大的比例,对大多数孩子来说也是比较难的内容。而我们想要战胜这一比较难的题型,我们就需要多多练题。
今天就给大家整理了20道经典几何难题,全是中考高频考点,还不快分享给你的孩子~
经典难题(一)
1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:CD=GF.
2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15度
求证:△PBC是正三角形.
3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.
求证:四边形A2B2C2D2是正方形.
4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:∠DEN=∠F.
经典难题(二)
1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.
求证:AP=AQ.
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是模尺配圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.
求证:AP=AQ.
4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.
求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:CE=CF.
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:AE=AF.
3、旦指设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:PA=PF.
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.
经典难题(四困橡)
1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:∠APB的度数.
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:∠PAB=∠PCB.
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.
经典难题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80度,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30度,∠EBA=20度,求∠BED的度数.
答 案
经典难题(一)
4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经典难题(二)
1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
经典难题(三)
经典难题(四)
2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:
AEBP共圆(一边所对两角相等)。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。
经典难题(五)
2.顺时针旋转△BPC 60度,可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。
http://bbs1.people.com.cn/posts/00/32/A3/16/A3318550.JPG
已知:如图: △ ABC中,∠ 1 = ∠ 2,
∠ 3=∠ 4,BF=CE。
求证:AB = AC
[B] 分析:比较两个线段的长短,只有三种情况。
如果AB 不等于 AC,那么只有两种情况 ,
要么AB > AC,要么 AB 只要证明以上两钟假设不成立,就可以反证出只能是第三种答案即:
只能是AB = AC。(矛盾法中的排中律,否定之否定) [/B]
证明:做EH // BF,EH = BF,连结FH和HC,
形成 ∠ 5,∠ 6,∠7。有∠ 1 + ∠ 2 =∠ ABC,
∠ 3 + ∠ 4 = ∠ ACB,∠ 4 + ∠ 7 = ∠ ECH,
∠ 5 +∠ 6 =∠ EHC,
▽: 因在△ ECH 中 EH = EC = BF
△: 所以 ∠ 5 +∠ 6 = ∠ 4 + ∠ 7 (等腰三角形底角相等)
▽: BFHE 为平行四边形 ;∠ 1 = ∠ 6,HF =EB,
(一) 在△ABC中 假设 AB > AC
则有∠ ABC 同时 ∠ 6 = ∠ 1,平行四边形对角相等
就有 ∠ 6 那么 ∠ 7 △:两等量底角 减去 大角 等于 小角
两等量底角 减去 小角 等于 大角
在△HEC中, FH 那么, BE 在两个△BCE和 △BCF 中比较,
▽ :因为两个量相等情况下(BC = CB,BF = CE)
△ :由 BE △: 所以 ∠ABC > ∠ACB (倍角等量关系)
△: 因此:AB 因此: 这个结果与假设条件即 :在△ABC中 假设 AB > AC命题自相矛盾,
因此 :上述第(一)项假设条件,不能成立!
(二)在△ABC中第二种情况下 假设AB 同理可证;得到:AB > AC
此 这个结果与假设条件即 :在△ABC中 假设 AC > AB命题自相矛盾,
因此 上述第(二)项假设条件,亦不能成立!
因为AB不等于AC情况下,只有以上两种情况,但都不能成立,
所以只有汪敏唯一种情况才能够成立,
那就是AB = AC
△ 证明到此完毕
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延长△ABC的三条边BC,CA,AB至A’,B’,C’ 三点,使CA’/BC=AB’/CA=BC’/AB,求证: △ABC与△A’B’C’ 有公共重心。
证明: 设D,E分别是BC与C'A'的中点,AD与B'E交于G,连ED并延长交AB于F。
直线EDF截△A'BC',由梅涅劳斯定理得:
(C'E/EA’)*(A'D/DB)*(BF/FC')=1
因为C'E=EA',所以A’D/DB=C'F/BF
(A'D-BD)/BD=(C'F-BF)/BF,
又因BD=CD,故A'C/BD=C'B/BF.
据己知条件: CA'/BC=BC'/AB,故BD/BC=BF/AB=1/2.
所以DF=CA/2,DF‖CA,DE=AB’/2,DE‖AB’.
由此可得:AG/GD==B’G/GE=2/1,
因此G是△ABC与△A’B’C’ 的公共重心。
证毕。
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已知困腊枝在三角形ABC中,BE,CF分别是角平分线,D是EF中点,若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z,求证:x=y+z
证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.
过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.
根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
过D点做BC上的高交BC于O点.
过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.
则X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD
同理可证FP=2DJ。
又因为FQ=FP,EM=EN.
FQ=2DJ,EN=2HD。
又因为角FQC,DOC,ENC都是90度,所以四边形局哪FQNE是直角梯形,而D是中点,所以2DO=FQ+EN
又因为
FQ=2DJ,EN=2HD。所以DO=HD+JD。
因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
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在梯形ABCD中,AB//CD,AD垂直于AC,AD=AC,
DB=DC,AC,BD交于点E,求角BDC的大小.
作BG平行于AC交DC延长线于点G
所以BG=AC,角BGD等于角ACD等于45°
设AD=AC=1,则DC=BD=根号2
且BG=1
由正弦定理
BD边比上角BGD的正弦值等于BG边比上角BDG的正弦值
设角BDG=角a
即根号2 比上sin45°= 1 比上 sina
求得sina等于二分之一
所以角BDG等于30° .
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如图:
1 在△ABC中,D为BC的中点,DE垂直于DF,试判断BF+CF与EF的大小关系,并试图证明结论。
2 △ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90度,D为AC中点,联结BD作∠ADF=∠CDB,连CF交BD于E。求证BD垂直于CF
问题补充:图反了
第一题解法如下:
BE+CF>EF
延长ED,使DG=DE,连接CG、FG
易得三角形DEB全等于三角形GCD
所以BE=CG
因为DE=DG,DF=DF,角EFD=角FDG=90度
所以FG=EF
因为CF+DG>FG(两边之和大于第三边)
GF=BE,FG=EF
所以BE+CF>EF
第二题解法如下:
以点C为远点,CB为Y轴,CA为X轴建立平面直角坐标系。
假设CA=CB=6,可得D(3,0);B(0,6)
--求得直线DB的解析式为f(DB)=-2x+6;
过点F作FG垂直AC,
由于∠DAF=45,所以AG=FG;又可从△DCB可以相似推出FG=2GD,
AD=3,故FG=2,GD=1,
所以F(4,2);D(3,0)
--求得直线FD的解析式为f(FD)=x/2;
由于两条解析式的k值相乘等于-1,所以可以证明BD⊥CF。
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